¿Qué es una integral?

No me sorprende el interés que suscita la entrada ¿Qué es una derivada? ya que en los libros de matemáticas te lo suelen explicar farragosamente -con alguna excepción- e incluso te encuentras con que en libros de Cálculo para la universidad, te explican más claramente las cosas que en los libros de bachillerato.

Siguiendo pues, la motivación de explicar las cosas tal y como me gustaría que me las hubieran explicado a mi en su día, hablaremos hoy del llamado cálculo integral. Podéis tener los móviles encendidos, a mi no me molesta.

El cálculo integral surgió como necesidad. Newton co-descubrió el cálculo porque necesitaba el aparato matemático para dar coherencia a sus ecuaciones físicas. Ecuaciones en las que las magnitudes variaban de forma instantánea. Piensa en la aceleración o en la velocidad. Darse cuenta de que diversas magnitudes estaban relacionadas entre sí y de qué forma, fue un gran avance para el mundo.

Pero el cálculo no sólo mide tasas de variación, sino tambien prosaicas y tristes superficies planas. Todos sabemos varias fórmulas para calcular áreas de superficies. Pero si no las recordamos, siempre podemos acudir al viejo truco de dividir una superficie en triángulos. Así, nos basta con recordar que la superficie de un triángulo es la mitad del área del rectángulo que forman dos triángulos iguales. Base por altura (dividido por 2).

-¿Y si es un triángulo mal hecho o escaleno?
-Un triángulo mal hecho lo puedes dividir en triángulos rectos (o bien hechos).

Claro que, ¿qué pasa cuando no podemos dividir una superficie en triángulos? Por ejemplo, estamos como cabras y queremos saber cuánto mide la superficie de un filete de ternera.

Los griegos -que tenían mucho tiempo libre-, tenían el truco de descomponer superficies en triángulos, pero ¿cómo aplicar este método tan sexy a un círculo? Pensaron en asemejar lo desconocido a lo conocido y empezaron a cuadrar el círculo. Si metemos dentro de un círculo polígonos que son medibles, al final obtendremos la superficie del círculo.

Aquellos hombres sin calzoncillos empezaron a meter polígonos en el círculo y así pasaron la tarde. Uno que se llamaba Arquímedes llegó a la conclusión de que nunca podrían acabar, que lo que estaban haciendo era una sucesión infinita y que se fueran a sus casas, que tenían a los niños sin cenar.

Él, como tenía a los niños haciendo la mili, se quedó haciendo cuentas. Sin Cálculo y tan sólo a pelo, llegó a cuadrar un segmento de parábola. ¿Qué es cuadrar un segmento de parábola? Pues hallar la fórmula que nos da la superficie que hay entre un trozo de parábola y el eje del que parte (el que está en la base).

Haciendo muchos cálculos, vio que se repetía una relación en la distancia del eje sobre el que dibuja la parábola cuadrática y la superficie. Esta relación es la tercera parte de la distancia al cubo. Este pequeño gran descubrimiento sólo era válido para la parábola cuadrática, pero al menos sirvió para decir "tate, ¿y si existen relaciones análogas con otro tipo de parábolas?".

No poca gente se dejó los ojos y la salud intentando averiguar fórmulas para calcular áreas bajo curvas. Muchos siglos después, Kepler compiló fórmulas de cálculo para diversas superficies curvas, pero seguía sin haber una fórmula general que sirviera para calcular cualquier superficie curva.

Pero el momento había llegado. La matemática estaba lista para empezar a caminar por una nueva senda de exploración y descubrimiento. Tras el Renacimiento, una nueva generación de científicos decidieron indagar sobre el mundo visible.

Aplicando el teorema de Pitágoras (¡otro griego!) en el plano cartesiano, tenemos la fórmula de la pendiente de cualquier recta, y es más, también tenemos la función que describe cualquier círculo. Gracias René, gracias Fermat.

Pero lo que necesitábamos era trabajar con curvas. Y un descubrimiento extraordinario necesita de un talento extraordinario. Leibniz y Newton en el siglo XVII descubrieron el cálculo diferencial. Como ya vimos, Newton, al trabajar con pendientes, estableció el "método de las fluxiones" (el nombre mola mucho), que no era otra cosa que el cálculo diferencial (cálculo tasas de cambio infinitesimales o si quieres, instantáneas). Pero Newton era muy celoso de su descubrimiento y en lugar de publicar sus hallazgos, volvía locos a los matemáticos mandándoles cartas crípticas con sus fluxores. Una de estas cartas-broma fue recibida con Leibniz, quien se puso a la faena y llegó a publicar su cálculo antes que Newton. A Newton se le cayó la peluca al suelo.

El cálculo de Leibniz recuerda a aquellos griegos metiendo polígonos en el círculo. Para hallar el área bajo una gráfica, el alemán metía rectángulos, rectángulos cada vez más estrechos. Una suma infinita de rectángulos acabaría por darnos el área bajo la gráfica.

El símbolo de la integral lleva la "s" alargada (de summa) precisamente por la suma de aquellos rectángulos.

∫

La relación entre diferenciación (o sea, calcular la pendiente de una curva en un punto) e integración (o sea, calcular el área bajo una curva), era evidente. La integral, podríamos decir que es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, tú derivas una función (para conocer cómo cambia instantáneamente) y si esa función derivada, la integras (para calcular el área que hay bajo cualquier tramo de la gráfica), obtienes la función original de partida. Análogamente, si integras una función, y esa integración la derivas, recuperas tu función orignial. Esto no siempre es verdad (porque la derivada de una constante es cero), pero es lo suficientemente explicativo. Tan explicativo es, que a esto se le llama Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

En el caso de que queramos manejar trozos de curva que no parten de cero, sino que están entre dos valores cualesquiera, tenemos que calcular la integral del trozo mayor y restarle la integral del menor. Siendo a menor que b, calculamos la integral en b y le restamos la integral en a. Este es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Integración y derivación, con su inextricable relación, y todo el aparato de cálculo matemático desarrollado posteriormente a partir de ellas, son los ladrillos básicos con los que construímos la visión del mundo físico que tenemos.


Adenda

• No tiene mucho que ver, pero, en ocasiones pienso algo y tengo la sensación de que hace veinticinco siglos un griego ya lo pensó antes mucho mejor que yo.
• Me gusta poder hablar de matemáticas evitando los números y las fórmulas. 
• ¿Por qué ese comportamento hermético con cosas que están al alcance de todos, que se basan en fundamentos innatos?
• Ganas de prender fuego a ciertos libros de texto del cole: subiendo.