¿Qué es una derivada?

El fundamento del cálculo diferencial es la derivada. La derivada es el ritmo de cambio de una función en un punto. ¿Que qué es una función? Por ejemplo, en un vehículo con aceleración constante de 3.600 km/h, significa que cada segundo nuestra velocidad aumenta un kilómetro por hora. Nuestra función aceleración será f(x)= 3.600x. En el primer segundo nuestra velocidad es de 1 km/h, en el primer minuto será de 60km/h, así sucesivamente.

El concepto de derivada, como herramienta matemática, se esconde bajo las relaciones que las cosas tienen entre sí. Por ejemplo la tasa de natalidad respecto a la renta media, el ritmo de consumo de combustible en un avión respecto a su aceleración, etc. Para entender el concepto de derivada (que es en principio un concepto intuitivo) necesitamos entender las reglas de diferenciación. Vamos a ello.

Imaginemos una cuesta o plano inclinado. ¿Por qué un plano inclinado está inclinado? Pues porque según avanzamos por él, nuestra altura cambia en relación con la distancia horizontal que recorremos. Esta relación la denominamos pendiente. Si para subir 30 metros de altura recorremos 100 metros en horizontal, la pendiente es de 0,30. Si al recorrer una distancia no subimos ni bajamos, la pendiente es igual a cero, y si descendemos la pendiente es negativa.

En un recorrido el menor esfuerzo se hace cuando el conjunto de pendientes de un trayecto es cero o se aproxima a cero. Pero no siempre nos vamos a encontrar cuestas rectilíneas, sino curvas. ¿Cuál es la pendiente de una curva? En 1629, Fermat respondió diciendo que la pendiente de una curva en un punto es la pendiente de una recta tangente a esa curva en ese punto. Nos puede parecer hoy en día una perogrullada, pero es la base de todo lo que vino después. Y sabemos que lo que vino después fue una cosa bárbara, armas atómicas incluídas. Por su parte, René Descartes desarrolló independientemente su propio método para hallar la pendiente de una curva. Lo que nos recuerda a lo que posteriormente sucedió con el cálculo diferencial entre Isaac Newton y Leibniz (pero en este caso no se llevaban tan bien).

Es como si la historia estuviera madura para que estos cálculos se revelaran, e incluso por si las moscas, con redundancia (parejas de matemáticos hacían el mismo descubrimiento de forma separada).

¿Cómo se halla la pendiente en un punto de una curva? Cogiendo otro punto (cualquiera) en la curva y uniendo ambos por una línea recta. Cuanto más vayamos acercando nuestro segundo punto al original (que no podemos mover), parece que esa recta se va volviendo tangente a la curva en el punto original. Por tanto, la pendiente de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto (interpretación geométrica de la derivada).

El valor límite de la aproximación es la derivada en ese punto, o sea, su "cambio instantáneo" en ese punto.

El "cambio instantáneo" es más fácil de ver si pensamos en la velocidad. La velocidad es la tasa de cambio del espacio con respecto al tiempo. Si tenemos una velocidad, la podemos medir sabiendo el tiempo que pasa entre dos localizaciones. Si esas dos localizaciones se aproximan infinitesimalmente, tendremos la velocidad instantánea.

Como vimos antes, la pendiente es un cociente entre el componente vertical y el componente horizontal. Si la aproximación es infinitesimal, el cociente va a ser entre un número chiquitito y otro número chiquitito. Los números chiquititos se expresan con la letra delta ("incremento de "). Pero como estos números son taaan chiquititos, son prácticamente cero y en lugar de la delta, ponemos una letra "d". Ahora, sabemos que en el eje de las abscisas están las equis y en el de ordenadas las i griegas, por tanto, el cociente se representa como:

dy/dx

Que se lee "derivada de y con especto a equis".

Hallar la derivada en cada punto significa hallar una función derivada. Imagínate: se puede derivar una derivada. Es decir, hallar la tasa de cambio instantáneo de la tasa de cambio instantáneo de una función. Es más, puedes hacer derivadas sucesivas hasta que no queda ningún cambio y todo da cero.

La función derivada de una recta es una constante (la pendiente de esa recta). La función derivada del seno es el coseno, etc. Le debemos la vida a que no exista aleatoriedad. Es decir, si una recta tuviera distintas pendientes en cada punto, probablemente no existiríamos.

Existen reglas irrompibles e incuestionables. Por ejemplo, la regla de la suma: la derivada de una suma, es la suma de las derivadas (que es un conocimiento innato). La regla del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda más la segunda función sin derivar por la derivada de la primera. Que se resume en el famoso: "un día vi a un soldado vestido de uniforme":

d(u*v) = u*dv + v*du

Fórmula que nos sirve para derivar cualquier función polinómica.

Los cimientos matemáticos nos sirven para construir el edificio de la física. Y llama la atención poderosamente que lo que los más listos entre los más listos averiguaban hace trescientos años sea hoy de uso común entre adolescentes escolarizados. Es más, no creo que fuera muy complicado que niños más pequeños estudiaran esto. Hace falta un poquito de voluntad, paciencia y tirar a la hoguera todos los planes educativos. Creo que se desaprovehan conocimientos casi-innatos como distinguir una cantidad de otra, y el cambio de algo respecto al tiempo. Se fuerza a los niños a ser adoctrinados porque un señor encorbatado en un despacho decide lo que debe aprender y cómo debe aprenderlo.

Por cierto, señores encorbatados que dudo mucho que sepan hacer una simple derivada o enunciarme la ley de la gravitación universal.