jueves, 4 de febrero de 2010

¿Qué es una integral?

No me sorprende el interés que suscita la entrada ¿Qué es una derivada? ya que en los libros de matemáticas te lo suelen explicar farragosamente -con alguna excepción- e incluso te encuentras con que en libros de Cálculo para la universidad, te explican más claramente las cosas que en los libros de bachillerato.

Siguiendo pues, la motivación de explicar las cosas tal y como me gustaría que me las hubieran explicado a mi en su día, hablaremos hoy del llamado cálculo integral. Podéis tener los móviles encendidos, a mi no me molesta.

El cálculo integral surgió como necesidad. Newton co-descubrió el cálculo porque necesitaba el aparato matemático para dar coherencia a sus ecuaciones físicas. Ecuaciones en las que las magnitudes variaban de forma instantánea. Piensa en la aceleración o en la velocidad. Darse cuenta de que diversas magnitudes estaban relacionadas entre sí y de qué forma, fue un gran avance para el mundo.

Pero el cálculo no sólo mide tasas de variación, sino tambien prosaicas y tristes superficies planas. Todos sabemos varias fórmulas para calcular áreas de superficies. Pero si no las recordamos, siempre podemos acudir al viejo truco de dividir una superficie en triángulos. Así, nos basta con recordar que la superficie de un triángulo es la mitad del área del rectángulo que forman dos triángulos iguales. Base por altura (dividido por 2).

-¿Y si es un triángulo mal hecho o escaleno?
-Un triángulo mal hecho lo puedes dividir en triángulos rectos (o bien hechos).

Claro que, ¿qué pasa cuando no podemos dividir una superficie en triángulos? Por ejemplo, estamos como cabras y queremos saber cuánto mide la superficie de un filete de ternera.

Los griegos -que tenían mucho tiempo libre-, tenían el truco de descomponer superficies en triángulos, pero ¿cómo aplicar este método tan sexy a un círculo? Pensaron en asemejar lo desconocido a lo conocido y empezaron a cuadrar el círculo. Si metemos dentro de un círculo polígonos que son medibles, al final obtendremos la superficie del círculo.


Aquellos hombres sin calzoncillos empezaron a meter polígonos en el círculo y así pasaron la tarde. Uno que se llamaba Arquímedes llegó a la conclusión de que nunca podrían acabar, que lo que estaban haciendo era una sucesión infinita y que se fueran a sus casas, que tenían a los niños sin cenar.

Él, como tenía a los niños haciendo la mili, se quedó haciendo cuentas. Sin Cálculo y tan sólo a pelo, llegó a cuadrar un segmento de parábola. ¿Qué es cuadrar un segmento de parábola? Pues hallar la fórmula que nos da la superficie que hay entre un trozo de parábola y el eje del que parte (el que está en la base).

Haciendo muchos cálculos, vio que se repetía una relación en la distancia del eje sobre el que dibuja la parábola cuadrática y la superficie. Esta relación es la tercera parte de la distancia al cubo. Este pequeño gran descubrimiento sólo era válido para la parábola cuadrática, pero al menos sirvió para decir "tate, ¿y si existen relaciones análogas con otro tipo de parábolas?".

No poca gente se dejó los ojos y la salud intentando averiguar fórmulas para calcular áreas bajo curvas. Muchos siglos después, Kepler compiló fórmulas de cálculo para diversas superficies curvas, pero seguía sin haber una fórmula general que sirviera para calcular cualquier superficie curva.

Pero el momento había llegado. La matemática estaba lista para empezar a caminar por una nueva senda de exploración y descubrimiento. Tras el Renacimiento, una nueva generación de científicos decidieron indagar sobre el mundo visible.

Aplicando el teorema de Pitágoras (¡otro griego!) en el plano cartesiano, tenemos la fórmula de la pendiente de cualquier recta, y es más, también tenemos la función que describe cualquier círculo. Gracias René, gracias Fermat.

Pero lo que necesitábamos era trabajar con curvas. Y un descubrimiento extraordinario necesita de un talento extraordinario. Leibniz y Newton en el siglo XVII descubrieron el cálculo diferencial. Como ya vimos, Newton, al trabajar con pendientes, estableció el "método de las fluxiones" (el nombre mola mucho), que no era otra cosa que el cálculo diferencial (cálculo tasas de cambio infinitesimales o si quieres, instantáneas). Pero Newton era muy celoso de su descubrimiento y en lugar de publicar sus hallazgos, volvía locos a los matemáticos mandándoles cartas crípticas con sus fluxores. Una de estas cartas-broma fue recibida con Leibniz, quien se puso a la faena y llegó a publicar su cálculo antes que Newton. A Newton se le cayó la peluca al suelo.

El cálculo de Leibniz recuerda a aquellos griegos metiendo polígonos en el círculo. Para hallar el área bajo una gráfica, el alemán metía rectángulos, rectángulos cada vez más estrechos. Una suma infinita de rectángulos acabaría por darnos el área bajo la gráfica.


El símbolo de la integral lleva la "s" alargada (de summa) precisamente por la suma de aquellos rectángulos.


La relación entre diferenciación (o sea, calcular la pendiente de una curva en un punto) e integración (o sea, calcular el área bajo una curva), era evidente. La integral, podríamos decir que es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, tú derivas una función (para conocer cómo cambia instantáneamente) y si esa función derivada, la integras (para calcular el área que hay bajo cualquier tramo de la gráfica), obtienes la función original de partida. Análogamente, si integras una función, y esa integración la derivas, recuperas tu función orignial. Esto no siempre es verdad (porque la derivada de una constante es cero), pero es lo suficientemente explicativo. Tan explicativo es, que a esto se le llama Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

En el caso de que queramos manejar trozos de curva que no parten de cero, sino que están entre dos valores cualesquiera, tenemos que calcular la integral del trozo mayor y restarle la integral del menor. Siendo a menor que b, calculamos la integral en b y le restamos la integral en a. Este es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Integración y derivación, con su inextricable relación, y todo el aparato de cálculo matemático desarrollado posteriormente a partir de ellas, son los ladrillos básicos con los que construímos la visión del mundo físico que tenemos.



Adenda
  • No tiene mucho que ver, pero, en ocasiones pienso algo y tengo la sensación de que hace veinticinco siglos un griego ya lo pensó antes mucho mejor que yo.
  • Me gusta poder hablar de matemáticas evitando los números y las fórmulas. 
  • ¿Por qué ese comportamento hermético con cosas que están al alcance de todos, que se basan en fundamentos innatos?
  • Ganas de prender fuego a ciertos libros de texto del cole: subiendo.

14 comentarios:

Teseo 04 febrero, 2010  

En mi examen de selectividad de matematicas (nota 2) preguntaban el teorema de Rolle. Es decir, una funcion continua que dibuja una curva que ademas sea derivable en un segmento dado el cual empieza y acaba a la misma altura, tiene al menos un punto en el cual la derivada de dicha funcion es cero. Lo divertido es negarlo, solo para tocar los huevos.

Las matematicas dejan de ser divertidas el año que no aparecen Pi (se toca la nariz y vuela) y Pa (da una palmada y suena musica) en los libros. Y cuando en los libros ya no te dejan pegar gomets. Si el egipcio ese conociera los gomets, podria calcular el area bajo la curva recortandolos y utilazando el principio de Arquimedes del agua y la corona. Y nos habriamos evitado al ingles pelanas en los libros de bachillerato.

Matzerath 04 febrero, 2010  

No conocía esta faceta divulgativa de su blog. Estoy muy de acuerdo con lo que dice: esto son tonterías más fáciles que mis cojones, aunque también ocurre, que por muy bien que se expliquen o que se entiendan, eso no significa que le vayan a poner a uno una integral en un examen y con esta explicación la vaya a saber hacer, estas cosas son más cuestión de práctica, el problema del Sistema Educativo es que no hay ni explicación ni práctica. Estas son cosas que dependen de un saber técnico, de una práctica, y es verdad que los libros de Bachillerato no los entiende ni su puta madre, y que los de Universidad son mil veces más sencillos, porque los de Universidad son divulgativos, y no confunden intentando hacer las cosas más simples. De mi clase suspendieron todos matemáticas en Selectividad menos yo, que fui el único que aprobó, aún suspendiendo Selectividad en general, que tiene paliza suspender Selectividad aprobando la asignatura más difícil, cuando además, hay hijos de puta de mi clase que están ahora estudiando ingenierías, carreras de ciencias, e incluso hay una que suspendió matemáticas en Selectividad y está estudiando MATEMÁTICAS en la Universidad, MIENTRAS YO ESTOY EN EL PARO.

Pablo 05 febrero, 2010  

Mazterath:

Está claro que hacer muchos ejercicios para tener práctica es fundamental, no lo niego. Pero la base teórica sí la encuentro farragosa y aburrida. Mucha gente está hasta los huevos de estudiar porque los profesores en no pocas ocasiones dan clase al no atreverse a salir al mundo real y no sirven para dar clase. Porque ésa es otra: pueden conocer la materia pero son incapaces de transmitir conocimiento.

Yo es que pondría a alumnos de último curso a dar clase a los de primero. Tampoco a los de mejor nota, porque pueden ser gente sospechosa. A gente más o menos normal.

Teseo:

No te suspendieron por negar el Teorema de Rolle, sino por no meter la palabra "paracompacto".

Si los profesores de universidad son analfabetos. Los que corrigen la Selectividad se quedan en el nivel "concursante de Gran Hermano".

Teseo 05 febrero, 2010  

Puede haber algo de cierto en todo esto. En la carrera, en la asignatura de Genetica, a los profesores se les caian los huevos hablando del Operon Lac (unos genes inducibles de las bacterias en el metabolismo de la lactosa, mas o menos equivalentes al virus ese de Internet que cuantos mas programas abres, mas te destroza...). Pues estoy ojeando un libro de bachillerato y ahora resulta que genes operones por todas partes y con funciones antagonicas... y se lo enseñan a los niños en el cole!!
Que bien me han quedado los signos de exclamacion.

Pablo 05 febrero, 2010  

Operón Lac, ATP, iones...

Al final para darnos cuenta de que todo viene del problema de la dualidad onda-partícula.

Somos música. Cuando hablo de coros celestiales no es por casualidad.

Estoy en contra del creacionismo porque voy más allá.

Je, cuando digo estas cosas, a quien me lee no le suele caber un cañamón por el ojete.

Teseo 06 febrero, 2010  

¿Te refieres a la cuerda esa tan pequeñita que segun el punto de vista del que la escucha produce una cierta resonancia que alegra la vidilla a los quarks?

Pablo 06 febrero, 2010  

No, me refiero justo a la teoría anterior. Tú te refieres a la Teoría M, yo al modelo de cuerdas.

Mabel 14 mayo, 2012  

Gracias por el aporte,me ayudaste mucho, Dios te bendiga.

Mabel 14 mayo, 2012  

Gracias por el aporte,me ayudaste mucho, Dios te bendiga.

DonGiuliano 13 junio, 2012  

Me quedé sorprendido, unas cuantas veces leí este blog y nada. Hoy empecé por la política diferencial
,llegué al indice y entradas anteriores y me sorprendió que también -y tan bien- hubiera apartados para otras cosas, tal como éstas. Por ello te agregaré a mi diario repaso del acontecer. Gracias.

DonGiuliano 13 junio, 2012  
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DonGiuliano 13 junio, 2012  

Me quedé sorprendido, unas cuantas veces leí este blog y nada. Hoy empecé por la política diferencial
,llegué al indice y entradas anteriores y me sorprendió que también -y tan bien- hubiera apartados para otras cosas, tal como éstas. Por ello te agregaré a mi diario repaso del acontecer. Gracias.

Pablo 14 junio, 2012  

Gracias a ti por el interés, Don Giuliano.

tragacierzo 18 septiembre, 2012  

Por fin, después de mucho tiempo haciendo infinidad de cuentas y problemas con integrales de todos tipos, entiendo lo que son y para que son.
Ojala alguien me las hubiera explicado así de fácil hace años.

Gracias

Entretenimiento

Últimos programas del podcast

Archivo

Se admite el debate

Blogorrollo